Fachvortrag in englischer Sprache

Ein typisches Beispiel für ein Randwertproblem ist gegeben durch
 

(λ- ∆)u = f in G,

          u = g auf ∂G,
 

wobei λ > 0 und G ⊂ Rn ein begrenzter und hinreichend glatter Bereich ist. Für f ∈ L2(G) ist der natürliche Lösungsraum für u der Sobolev-Raum zweiter Ordnung H2(G). Für die Randdaten g ist der kanonische Raum durch H3/2(∂G) gegeben – dies ist ein Sobolev-Raum nicht-ganzzahliger Ordnung, was auf eine Verbindung zur Theorie der Funktionsräume hinweist. Ist f ∈ Lp(G) für irgendein p ∈ (1,∞), so ergibt sich u ∈ Wp2(G), und der kanonische Randraum ist der Besov-Raum der Ordnung 2 - 1/p.
 

In einigen Anwendungen sind die Randdaten nicht glatt genug, um die klassische Theorie anzuwenden. Dies ist z. B. der Fall, wenn wir einen stochastischen Kraftterm auf dem Rand (Randrauschen) und/oder eine Dynamik auf dem Rand haben. Hierfür muss man die Spurenkarte u 7→ u|∂G verallgemeinern und sogar Besov-Räume negativer Ordnung für die Randdaten einbeziehen. Man kann die eindeutige Lösbarkeit für eine allgemeine Klasse von Randwertproblemen und die Erzeugung einer analytischen Halbgruppe im Fall von dynamischen Randbedingungen zeigen. Zu den Anwendungen gehören der Bi-Laplacian mit Wentzell-Randbedingungen, die linearisierte Cahn-Hilliard-Gleichung mit dynamischen Randbedingungen und gekoppelte Platten-Membran-Systeme.
 

Sprecher:

Prof. Dr. Robert Denk ist Professor für »Partielle Differentialgleichungen in der Mathematik« an der Universität Konstanz.